题目内容

已知数列{a_n}满足： $数学公式$ ．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明： $数学公式$ ．

（1）解：∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1
∵a₁=2
∴{ $\text{[math]}$ }组成以2为首项，1为公差的等差数列
∴ $\text{[math]}$ =n+1，
∴a_n=（n+1）ⁿ；
（2）证明：当n=1时， $\text{[math]}$ 1，成立；当n=2时， $\text{[math]}$ ，成立；
当n＞2时，（n+1）ⁿ＞（n+1）²＞n²，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =1．
分析：（1）利用数列递推式，可得{ $\text{[math]}$ }组成以2为首项，1为公差的等差数列，由此可得数列{a_n}的通项公式；
（2）利用放缩法进行证明，证明 $\text{[math]}$ 即可得到结论．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，确定数列的通项是关键．

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