Question

21．抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x₀,y₀)(x ₀≠0)作斜率为k₁,k₂的两条直线分别交抛物线C于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.

（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；

（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，－1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.

Answer 1

21.（Ⅰ）解：由抛物线C的方程y=ax²(a<0)得，焦点坐标为（0,），准线方程为

      y= －

（Ⅱ）证明：设直线PA的方程为y－y₀=k₁(x－x₀).直线PB的方程为y-y₀=k₂(x-x₀)

点P(x₀,y₀)和点A(x₁,y₁)的坐标是方程组

的解，将②式代入①式得ax²－k₁x+k₁x₀－y₀=0，于是x₁+x₀=,故

             x₁=－x₀                               ③

又点P(x₀,y₀)和点B(x₂,y₂)的坐标是方程组

的解，将⑤式代入④式得ax²－k₂x+k₂x₀－y₀=0，于是x₂+x₀=，故

          x₂=-x₀

由已知得，k₂=－λk₁，则x₂=－k₁－x₀                      ⑥

设点M的坐标为（x_M, y_M），由，则

            x_M=

将③式和⑥式代入上式得

            x_M==-x₀，

即x_M+x₀=0，所以，线段PM的中点在y轴上.

（Ⅲ）解：因为点P(1, －1)在抛物线y=ax²上，所以a=－1，抛物线方程为y=－x².

由③式知x₁=－k₁－1，代入y= x²得y₁= －(k₁+1)²

将λ=1代入⑥式得x₂=k₁－1，代入y=－x²得y₂=－(k₁－1)².

因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为

   A(－k₁－1, －k₁²－2k₁－1), B(k₁－1, －k₁²+2k₁－1)

于是

=(k₁+2, k₁²+2 k₁),

=(2k₁,4k₁)

·=2k₁(k₁+2)+4k₁(k₁²+2k₁)

          =2k₁ (k₁+2)(2k₁+1)

因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有·<0，即 

                k₁ (k₁+2)(2k₁+1)<0,

求得k₁的取值范围为

  k₁＜－2或－＜k₁＜0

又点A的纵坐标y₁满足y₁= －(k₁+1)²，故

     当k₁<－2时，y₁<－1

         当－＜k₁＜0时，－1＜y₁＜－

 

所以，∠PAB为钝角时点A的纵坐标y₁的取值范围为

    (－∞，－1)∪(－1,－).