Question

已知关于x的不等式

ax-5

x-a

＜0的解集为M．
（1）当a=4时，求集合M； 
（2）若3∈M且5∉M，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=4时，不等式化为

4x-5

x-4

＜0，推出同解不等式，利用穿根法解不等式求得集合M；
（2）对a=5，和a≠5时分类讨论，用3∈M且5∉M，推出不等式组，然后解分式不等式组，求实数a的取值范围．

解答：解：（1）a=4时，不等式为

4x-5

x-4

＜0，解之，得 M=(

5

4

，4)；        （5分）
（2）①a≠5时，

3∈M 5∉M

⇒

3a-5 3-a ＜0 5a-5 5-a ≥0

⇒a∈[1，

5

3

)∪(3，5)，（5分）
②a=5时，不等式为

5x-5

x-5

＜0，解得M=（1，5），
则 3∈M且5∉M，∴a=5满足条件，
综上，得 a∈[1，

5

3

)∪(3，5]．                          （3分）

点评：本题考查其他不等式的解法，元素与集合关系的判断，考查穿根法，分式不等式的解法，是中档题．