Question

已知关于x的不等式

a(x+1)

x-2

＜2的解集为A，且5∉A，
（1）求实数a的取值范围；
（2）求集合A．

Answer 1

分析：（1）由题意，关于x的不等式

a(x+1)

x-2

＜2的解集为A，且5∉A，将x=5代入，可得

a(5+1)

5-2

≥2，解此不等式求出实数a的取值范围；
（2）由题意，先将不等式变为

(a-2)x+5

x-2

＜0，由于x的系数带有字母，故可分情况讨论不等式的解集．

解答：解：（1）由题意关于x的不等式

a(x+1)

x-2

＜2的解集为A，且5∉A
可得

a(5+1)

5-2

≥2解得a≥1
即实数a的取值范围是a≥1
（2）

a(x+1)

x-2

＜2可变为

a(x+1)-2x+4

x-2

＜0，即

(a-2)x+a+4

x-2

＜0
由（1）知a≥1
当1≤a＜2时，不等式可变为

x+ a+4 a-2

x-2

＞0即

x- a+4 2-a

x-2

＞0，又

a+4

2-a

＞5，故不等式的解是x＞

a+4

2-a

，或x＜2
当a=2时，不等式可变为

a+4

x-2

＜0，解得x＜2
当a＞2时，不等式可变为

x+ a+4 a-2

x-2

＜0即

x- a+4 2-a

x-2

＜0，又

a+4

2-a

＜0，故不等式的解是x＜

a+4

2-a

，或x＞2，由于此时不满足a+4∉A，故此种情况不成立
综上，当1≤a＜2时不等式的解是x＞

a+4

2-a

，或x＜2；当a=2时，不等式解x＜2

点评：本题考查一元二次不等式的应用，解题的关键是理解一元二次不等式的解法，且能根据其解法规则灵活解不等式，本题第二小题是一个带参数的不等式，此类不等式求解时一般要根据参数的取值范围时行分类求解，做题时要注意灵活选用方法