Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＜0，且a₁+a₅=12，a₂a₄=32．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的前项的和为S_n，求S_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）因为数列{a_n}是等差数列，所以要求通项公式，只需求出首项与公差，又因为₁+a₅=12，a₂a₄=32，把两式均用a₁和d表示，解出a₁，d即可．
（2）因为数列{a_n}是等差数列，所以前项和S_n是n的二次函数，再按二次函数求最值即可．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，∴a₁+a₅=a₂+a₄=12
又a₂a₄=32，∴a₂，a₄可以看成一元二次方程x²-12x+32=0的两个根．
由公差d＜0知，a₂＞a₄，∴a₂=8，a₄=4…（5分）
从而d=-2，∴a_n=-2n+12；                      
（2）由Sn=10n+

n(n-1)

2

•(-2)=-n2+11n=-(n-

11

2

)2+

121

4

∵n∈N*，∴当n=5或6时，S_n取最大值所以，S_n的最大值为30．

点评：本题考查了等差数列通项公式以及前项和公式的应用，属于基础题，必须掌握．