Question

已知函数f（x）=-

x3

3

+x²+3x-3a（a＜0）．
（1）若a=-1，P为曲线y=f（x）上一动点，求以P为切点的切线斜率取最大值时的切线方程；
（2）若x∈[3a，a]时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，求出导函数的最大值即为所求切线方程的斜率，再求出切点再由点斜式得到切线方程．
（2）根据导函数值的正负判断函数的单调性，然后对a的不同范围求函数f（x）在x∈[a，3a]上的最小值使得大于等于0，进而可确定a的范围．

解答：解：（1）设切线的斜率为k，则k=f′（x）=-x²+2x+3，
当x=1时，k有最大值4，又f（1）=

20

3

，
所以切线方程为y-

20

3

=4（x-1），即12x-3y+8=0．
（2）由f′（x）=-x²+2x+3＞0得f（x）在区间（-1，3）上是增函数，
在区间（-∞，-1），（3，+∞）是减函数，
若x∈[3a，a]时，f（x）≥0恒成立，则

-1≤3a＜a＜0 f(x)min=f(3a)≥0

（1）
或

3a＜-1≤a＜0 f(x)min=f(-1)≥0

（2）
或

3a＜a＜-1 f(x)min=f(a)≥0

（3）
（1）无解，由（2）得-1≤a≤-

5

9

，由（3）得a＜-1．
综上所述，实数a的取值范围为a≤-

5

9

．

点评：本题主要考查导数的几何意义、函数单调性与其导函数的正负之间的关系、函数恒成立问题，属基础题．