Question

如图，椭圆的两顶点为A（，0），B（0，1），该椭圆的左右焦点分别是F₁，F₂。

（1）在线段AB上是否存在点C，使得CF₁⊥CF₂？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）设过F₁的直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF₂面积的最大值。

Answer 1

解：由已知可得椭圆的方程为，且有：，，，，
（1）假设存在点C，使得，
则：，
令（），
而，
故有：，解得或，
所以，点C的坐标为C（0，1）或。
（2）若设过的直线交椭圆于，
则由焦半径公式可得：，
当轴时，，此时；
当PQ与x轴不垂直时，不妨设直线PQ的方程为，(k＞0)，
则由：，得，
故，
于是可得，
又由点到直线的距离公式可得点到PQ的距离，
故，
因为，
所以，
综上可知，当直线PQ⊥x轴时，的面积取到最大值。