Question

已知直线ax+by-1=0（a＞0，b＞0）平分圆x²+y²-2x-2y+1=0的周长，则

1

a

+

1

b

的最小值是

4

．

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，直线ax+by-1=0平分圆x²+y²-2x-2y+1=0的周长说明直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程可得a，b的关系，用此关系对

1

a

+

1

b

变形用基本不等式求最值可．

解答：解：直线ax+by-1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²-2x-2y=0的周长，
且圆心坐标是（1，1），
故a+b=1，
所以

1

a

+

1

b

=(a+b)(

1

a

+

1

b

)=2+

b

a

+

a

b

≥4，
当且仅当

b

a

=

a

b

，即a=b=1时等号成立，
则

1

a

+

1

b

的最小值是4．
故答案为4．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，以及基本不等式求最值，其中由直线ax+by-1=0平分圆x²+y²-2x-2y+1=0的周长得到直线过圆心是本题的突破点．同时本题根据题目条件构造出了可以利用基本不等式求最值的形式，属于积定和最小型．