Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）若a＞0且bc≠0，f（0）=-1，|f（-1）|=|f（1）|=1，试求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于（x₁，x₂）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x=0，则|f（0）|=|c|=1，令x=-1，则f（-1）=a-b+c=1，令x=1，则|f（1）|=|a+b+c|=1，然后分类讨论进行求解．
（Ⅱ）当x2＜-

b

2a

或x1＞-

b

2a

时：可知f（x）在（x₁，x₂）内是单调的．设f（x₁）＜f（x₂），则必有f（x₁）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]＜f（x₂），因此必然存在实数m∈（x₁，x₂）满足f（m）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]．由此入手能够证明方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根，必有一实根属于（x₁，x₂）．

解答：解：（Ⅰ）令x=0，则|f（0）|=|c|=1，令x=-1，则f（-1）=a-b+c=1，令x=1，则|f（1）|=|a+b+c|=1，下面分类讨论，①若f（0）=f（-1）=1，由于二次函数只能有两根相同，则f（1）=-1 所以c=1，a-b+c=1，a+b+c=-1 解得a=-1，b=-1，c=1，不符合a＞0的条件，舍去 ②若f（1）=1，则f（0）=-1 c=-1，a+b+c=1，a-b+c=1，解得a=2，b=0，c=-1，不符合bc≠0的条件，舍去 ③若f（1）=-1，f（0）=-1，则 c=-1，a+b+c=-1，a-b+c=1 解得a=1，b=-1，c=-1，满足综上所述：f（x）=x²-x-1．
（Ⅱ）证明：当x2＜-

b

2a

或x1＞-

b

2a

时：可知f（x）在（x₁，x₂）内是单调的．
设f（x₁）＜f（x₂），
则必有f（x₁）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]＜f（x₂），
因此必然存在实数m∈（x₁，x₂）满足f（m）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]．
同理当f（x₁）＞f（x₂）时也成立．当x₁＜-

b

2a

且x₂＞-

b

2a

时：若-

b

2a

＜-x₁＜x₂+

b

2a

，
可设x₁′=-

b

a

-x₁，
则有f（x₁′）=f（x₁），
且f（x）在（x₁′，x₂）是单调的，以后证法同上．
同理当-

b

2a

＞-x₁＞x2+

b

2a

时也成立．
综上所述：方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根，必有一实根属于（x₁，x₂）．

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．