Question

【题目】已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且的周长为6，点关于原点的对称点为，直线交于点.

（1）求椭圆方程；

（2）若直线与椭圆交于另一点，且，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根据的周长为，结合离心率，求出，即可求出方程；

（2）设，则，求出直线方程，若斜率不存在，求出坐标，直接验证是否满足题意，若斜率存在，求出其方程，与直线方程联立，求出点坐标，根据和三点共线，将点坐标用表示，坐标代入椭圆方程，即可求解.

（1）因为椭圆的离心率为，的周长为6，

设椭圆的焦距为，则

解得，，，

所以椭圆方程为.

（2）设，则，且，

所以的方程为①.

若，则的方程为②，由对称性不妨令点在轴上方，

则，，联立①，②解得即.

的方程为，代入椭圆方程得

，整理得，

或，.

，不符合条件.

若，则的方程为，

即③.

联立①，③可解得所以.

因为，设

所以，即.

又因为位于轴异侧，所以.

因为三点共线，即应与共线，

所以，即，

所以，又，

所以，解得，所以，

所以点的坐标为或.