Question

已知函数f(x)=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
（Ⅱ）当0≤x≤

π

2

时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先用降幂公式和辅助角公式，将f（x）进行整理，得f（x）=sin(2x-

π

3

)，然后根据正弦函数周期的公式可得函
f（x）的最小正周期为π，最后求出函数的零点，即可得到f（x）图象对称中心的坐标；
（Ⅱ）根据x∈[0，

π

2

]，得到2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，最后结合正弦函数的图象与性质可得函数f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

(cos2x+1)+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin(2x-

π

3

)…（5分）
所以f（x）的最小正周期为π．…（6分）
令sin(2x-

π

3

)=0，得2x-

π

3

=kπ，
∴x=

k

2

π+

π

6

，k∈Z．
故所求对称中心的坐标为(

k

2

π+

π

6

，0)，(k∈Z)．…（9分）
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

2

∴0≤2x≤π⇒-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．…（11分）
∴当x=0时，f（x）=sin(2x-

π

3

)取最小值-

3

2

，
当x=

5π

12

时，f（x）=sin(2x-

π

3

)取最大值1，
∴f（x）的值域为[-

3

2

，1]．…（13分）

点评：本题考查了三角函数中的恒等变换应用和正弦函数的周期性、对称性等性质，属于中档题．