Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数， 为倾斜角），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的普通方程和参数方程；

（Ⅱ）设与曲线交于， 两点，求线段的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,（为参数）; （Ⅱ）.

【解析】试题分析:(1)根据,将曲线C的极坐标方程化为普通方程,进而写出圆的参数方程;(2)将直线的参数方程代入曲线C中,整理并写出韦达定理,根据t的几何意义以及弦长公式表示出线段,根据三角函数的有界性求出取值范围.

试题解析:（Ⅰ）因为曲线的极坐标方程为，

所以曲线的普通方程为，即，

所以曲线的参数方程为（为参数）．

（Ⅱ）把代入代入，

并整理得，

设， 对应的参数分别为， ，所以， ，

所以

，

设， ，∴，

∵，∴，∴，∴的取值范围为．

点睛:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度单位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标是,则它们的关系是： .直线的参数方程中参数t的几何意义是:t的绝对值等于直线上的动点M到定点P的距离.