Question

若函数f(x)=x2+

256

x2

+a+b的零点都在（-∞，-2]∪[2，+∞）内，则

a2+b2

的最小值为

16

2

．

Answer 1

分析：根据均值不等式x2+

256

x2

≥2

256

=32，从而求出a+b的范围，利用线性规划的问题，可知

a2+b2

表示原点到可行域的距离，从而求解；

解答：解：函数f(x)=x2+

256

x2

+a+b的零点都在（-∞，-2]∪[2，+∞）内，
∵x2+

256

x2

≥2

256

=32，（x=±4等号成立），
∴a+b≤-32，可以令x=a，y=b，
画出可行域：

a2+b2

=

x2+y2

表示原点到可行域的距离，如图最小值即为原点到直线的距离d，
∴d=

|32|

2

=16

2

，
∴

a2+b2

≥16

2

，
故答案为16

2

；

点评：本题考查等价转化的能力、数学结合的数学方法、利用线性规划求函数的最值，是一道好题；