Question

已知函数f(x)=-1+2

3

sinxcosx+2cos2x，
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）画出函数g(x)=f(x)，x∈[-

7π

12

，

5π

12

]的图象，由图象研究并写出g（x）的对称轴和对称中心．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式，求出其周期

2π

ω

．
（2）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，求得 x的范围，即可求得减区间．
（3）用五点法作出 g（x） 的图象，结合图象研究g（x）的对称轴和对称中心．

解答：解：（1）f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，周期 T=

2π

2

=π．
（2）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，
所以，减区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ](k∈Z)．
（3）如图所示：g（x）无对称轴，对称中心为（-

π

12

，0）．

点评：本题考查正弦函数的周期性和单调性，五点法做正弦函数的图象，化简函数f（x）的解析式，是解题的关键．