Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，且原点O到直线

x

a

+

y

b

=1的距离为d=

2 21

7

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M（

3

，0）作直线与椭圆C交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由e=

c

a

=

1

2

，知a²=4c²=4（a²-b²），由直线方程为

x

a

+

y

b

=1，知d=

ab

a2+b2

=

2 21

7

，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线PQ：x=my+

3

，代入椭圆C：3x²+4y²=12，得(3m2+4)y2+6

3

my-3=0，△=(6

3

m)2+12(3m2+4)=48(3m2+1)＞0，△OPQ的面积为S=

1

2

|OM||y1-y2|=

3

2

×

△

3m2+4

=

6 3m2+1

3m2+4

，由此能求出△OPQ面积的最大值．

解答：解：（1）∵e=

c

a

=

1

2

，∴a²=4c²=4（a²-b²），即4b²=3a²，（1）（2分）
又∵直线方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay=ab，
∴d=

ab

a2+b2

=

2 21

7

，即7a²b²=12（a²+b²）（2）（4分）
联立（1）（2）解得a²=4，b²=3，∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（6分）
（2）由题意，设直线PQ：x=my+

3

，
代入椭圆C：3x²+4y²=12，化简，得(3m2+4)y2+6

3

my-3=0，
△=(6

3

m)2+12(3m2+4)=48(3m2+1)＞0，则△OPQ的面积为
S=

1

2

|OM||y1-y2|=

3

2

×

△

3m2+4

=

6 3m2+1

3m2+4

，（9分）
∴S=

6 3m2+1

(3m2+1)+3

≤

6 3m2+1

2 3(3m2+1)

=

3

，
所以，当3m2+1=3，m2=

2

3

时，△OPQ面积的最大值为

3

．（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．