Question

（2013•河东区二模）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；
（Ⅲ）求二面角A-FC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设AC与BD相交于点O，连接FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．由FA=FC，知AC⊥FO．由此能够证明AC⊥平面BDEF．
（Ⅱ）因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD∥BC，DE∥BF，平面FBC∥平面EAD．由此能够证明FC∥平面EAD．
（Ⅲ）因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O-xyz．设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，所以 

CF

=(

3

，0，

3

)，

CB

=(

3

，1，0)．求得平面BFC的法向量为

n

=(1，-

3

，-1)，平面AFC的法向量为

v

=（0，1，0）．由此能求出二面角A-FC-B的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，
连接FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．   …（1分）
又 FA=FC，所以 AC⊥FO．  …（3分）
因为 FO∩BD=O，
所以 AC⊥平面BDEF．  …（4分）
（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，
所以AD∥BC，DE∥BF，
所以 平面FBC∥平面EAD．…（7分）
又FC?平面FBC，所以FC∥平面EAD．      …（8分）
（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，
所以△DBF为等边三角形．
因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．
由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz． …（9分）
设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，
则BD=2，所以OB=1，OA=OF=

3

．所以 O(0，0，0)，A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，C(-

3

，0，0)，F(0，0，

3

)．
所以 

CF

=(

3

，0，

3

)，

CB

=(

3

，1，0)．
设平面BFC的法向量为

n

=（x，y，z），
则有

3 x+ 3 z=0 3 x+y=0

，
取x=1，得

n

=(1，-

3

，-1)．
∵平面AFC的法向量为

v

=（0，1，0）．    …（11分）
由二面角A-FC-B是锐角，得|cos＜

n

，

v

＞|=

| n • v |

| n || v |

=

15

5

．
所以二面角A-FC-B的余弦值为

15

5

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直、直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意向量法的合理运用．