题目内容
（2013•河东区二模）已知正项数列{an}中，a1=6，点An(an，
)在抛物线y2=x+1上；数列{bn}中，点Bn（n，bn）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（文理共答）
（Ⅱ）若f（n）=
，问是否存在k∈N，使f（k+27）=4f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（文理共答）
（Ⅲ）对任意正整数n，不等式
-
≤0成立，求正数a的取值范围．（只理科答）
| an+1 |
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（文理共答）
（Ⅱ）若f（n）=
|
（Ⅲ）对任意正整数n，不等式
| an+1 | ||||||
(1+
|
| an | ||
|
分析：（Ⅰ）将点An(an，
)代入抛物线y2=x+1，得an+1=an+1，由此能求出an；过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线方程为y=2x+1，把点Bn（n，bn）代入能求出bn．
（Ⅱ）由f（n）=
=
，利用题设条件能推导出存在唯一的k=4符合条件．
（Ⅲ）由
-
≤0，知a≤
(1+
)(1+
)…(1+
)，设f（n+1）=
(1+
)(1+
)…(1+
)(1+
)，利用构造法能求出正数a的取值范围．
| an+1 |
（Ⅱ）由f（n）=
|
|
（Ⅲ）由
| an+1 | ||||||
(1+
|
| an | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
| 1 | ||
|
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
| 1 |
| bn+1 |
解答：解：（Ⅰ）将点An(an，
)代入抛物线y2=x+1，
得an+1=an+1，
∴an+1-an=d=1，
∴an=a1+（n-1）•1=n+5，
∵过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线方程为y=2x+1，
点Bn（n，bn）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上，
∴bn=2n+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=
=
，
当k为偶数时，k+27为奇数，
∴f（k+27）=4f（k），
∴k+27+5=4（2k+1），∴k=4．
当k为奇数时，k+27为偶数，
∴2（k+27）+1=4（k+5），∴k=
（舍去）
综上所述，存在唯一的k=4符合条件．
（Ⅲ）由
-
≤0，
即a≤
(1+
)(1+
)…(1+
)，
设f（n+1）=
(1+
)(1+
)…(1+
)(1+
)，
∴
=
•(1+
)
=
•
=
=
＞1，
∴f（n+1）＞f（n），即f（n）递增，
∴f（n）min=f（1）=
•
=
，
∴0＜a≤
．…（12分）
| an+1 |
得an+1=an+1，
∴an+1-an=d=1，
∴an=a1+（n-1）•1=n+5，
∵过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线方程为y=2x+1，
点Bn（n，bn）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上，
∴bn=2n+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=
|
|
当k为偶数时，k+27为奇数，
∴f（k+27）=4f（k），
∴k+27+5=4（2k+1），∴k=4．
当k为奇数时，k+27为偶数，
∴2（k+27）+1=4（k+5），∴k=
| 35 |
| 2 |
综上所述，存在唯一的k=4符合条件．
（Ⅲ）由
| an+1 | ||||||
(1+
|
| an | ||
|
即a≤
| 1 | ||
|
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
设f（n+1）=
| 1 | ||
|
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
| 1 |
| bn+1 |
∴
| f(n+1) |
| f(n) |
| ||
|
| 1 |
| bn+1 |
=
| ||
|
| 2n+4 |
| 2n+3 |
=
| 2n+4 | ||||
|
=
| ||
|
∴f（n+1）＞f（n），即f（n）递增，
∴f（n）min=f（1）=
| 1 | ||
|
| 4 |
| 3 |
4
| ||
| 15 |
∴0＜a≤
4
| ||
| 15 |
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
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