题目内容
判断函数f（x）=x+
的奇偶性，并证明f（x）在（1，+∞）上单调递增．
| 1 | x |
分析：用函数奇偶性定义证明，要注意定义域．根据单调性的定义进行证明，先任取两个变量，且确定范围，再作差变形看符号．
解答：解：函数f（x）=x+
的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
f（-x）=-x+
=-(x+
)=-f（x），满足奇函数的定义，
∴函数f（x）为奇函数．
设x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=（x1+
）-（x2+
）=（x1-x2）（1-
）=
，
∵1＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增．
| 1 |
| x |
f（-x）=-x+
| 1 |
| -x |
| 1 |
| x |
∴函数f（x）为奇函数．
设x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=（x1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1x2 |
| (x1-x2)(x1x2-1) |
| x1x2 |
∵1＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增．
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性定义，要注意奇偶性要先判断函数的定义域是否关于原点对称，利用单调性的定义作差变形时化简要到位．
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