Question

（2013•济宁一模）在△ABC中，已知A=

π

4

，cosB=

2 5

5

．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若BC=2

5

，D为AB的中点，求CD的长．

Answer 1

分析：（I）由cosB的值及B的范围求出sinB的值，所求式子利用诱导公式及内角和定理变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出cosC的值；
（Ⅱ）由cosC的值，求出sinC的值，根据BC，sinA，以及sinC的值，利用正弦定理求出AB的唱，再利用余弦定理即可求出CD的长．

解答：解：（Ⅰ）∵cosB=

2 5

5

且B∈（0，π），
∴sinB=

1-cos2B

=

5

5

，
则cosC=cos（π-A-B）=cos（

3π

4

-B）=cos

3π

4

cosB+sin

3π

4

sinB=-

2

2

-

2 5

5

+

2

2

-

5

5

=-

10

10

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC=

1-cos2C

=

1-(- 10 10 )2

=

3 10

10

，
由正弦定理得

BC

sinA

=

AB

sinC

，即

2 5

2 2

=

AB

3 10 10

，解得AB=6，
在△BCD中，CD²=BC²+AD²-2BC•ADcosB=（2

5

）²+3²-2×3×2

5

×

2 5

5

=5，
所以CD=

5

．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及正弦、余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．