题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（-2，0）、B（2，0），M是动点，且直线MA与直线MB的斜率之积为- $数学公式$ ，设动点M的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II ）过定点T（-1，0）的动直线l与曲线C交于P，Q两点，是否存在定点S（s，0），使得 $数学公式$ 为定值，若存在求出s的值；若不存在请说明理由．

解：（I）设M点坐标为（x，y）
∵定点A（-2，0）、B（2，0），直线MA与直线MB的斜率之积为- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴曲线C的方程为 $\text{[math]}$ ；
（II ）当动直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0）
由 $\text{[math]}$ ，可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
若存在定点S（s，0），使得 $\text{[math]}$ 为定值，则 $\text{[math]}$ =4
∴s=- $\text{[math]}$ ，此时定值为 $\text{[math]}$
当动直线l的斜率不存在时，P（-1， $\text{[math]}$ ），Q（-1，- $\text{[math]}$ ），可知s=- $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
综上知，存在定点S（- $\text{[math]}$ ，0），使得 $\text{[math]}$ 为定值．
分析：（I）根据定点A（-2，0）、B（2，0），直线MA与直线MB的斜率之积为- $\text{[math]}$ ，建立方程，化简可得曲线C的方程；
（II ）当动直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0）与椭圆方程联立，用坐标表示出 $\text{[math]}$ ，要使存在定点S（s，0），使得 $\text{[math]}$ 为定值，则使 $\text{[math]}$ =4即可，再验证斜率不存在情况也成立．
点评：本题考查轨迹方程的求解，考查存在性问题的探究，解题的关键是用坐标表示出 $\text{[math]}$ ，进而确定定值．