Question

已知集合A={x|x²-x≤0，x∈R}，设函数f（x）=2^-x+a（x∈A）的值域为B，
（1）当a=0时，求A∩B；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出集合A和集合B，
（1）当a=0时，代入集合B，求得集合B，然后利用集合的交集的定义，即可得到答案；
（2）根据B⊆A的含义，列出不等关系式，求解即可得到答案．

解答：解：x²-x≤0，即x（x-1）≤0，
解得0≤x≤1，
∴A={x|0≤x≤1}，
函数f（x）=2^-x+a，
当0≤x≤1时，

1

2

≤2-x≤1，
∴f（x）的值域为B=[

1

2

+a，1+a]．
（1）当a=0时，B=[

1

2

，1]，
∴A∩B=[

1

2

，1]；
（2）∵B⊆A，
则有

1 2 +a≥0 1+a≤1

，
解得-

1

2

≤a≤0，
故实数a的取值范围是-

1

2

≤a≤0．

点评：本题考查了集合的包含关系的应用，集合的交集及其运算．集合的子集问题，求解的时候不能忽略空集和集合本身这两种情况，是易错点．本题求解子集时不需要研究B为空集的情况，因为函数的值域一定是非空集合，求解时要特别注意．涉及了一元二次不等式的解法，指数函数值域的求解．属于基础题．