Question

已知Z是复数，Z+2i，

z

2-i

均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）²在复平面对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：设z=m+ni，由Z+2i=m+ni+2i是实数，求得n=-2，

z

2-i

=

m-2i

2-i

=

(2m+2)+(m-4)i

5

实数，求得m=4，故z=4-2i．所以（z+ai）²=（12-a²+4a）+（8a-16）i，再由复数（z+ai）²在复平面对应的点在第二象限，能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）设z=m+ni
∵Z+2i=m+ni+2i是实数，
∴n=-2，

z

2-i

=

m-2i

2-i

=

(2m+2)+(m-4)i

5

实数，
∴m=4，
∴z=4-2i．…6'
∴（z+ai）²=（4-2i+ai）²=16+8（a-2）i+（a-2）²i²=（12-a²+4a）+（8a-16）i，
∵复数（z+ai）²在复平面对应的点在第二象限，
∴

12-a2+4a＜0 8a-16＞0

，解得a＞6．
∴实数a的取值范围是{a|a＞6}．…12'

点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意复数的几何意义的灵活运用．