题目内容

己知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx-cos²x
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若 $数学公式$ 求函数f（x）的最大值和最小值，并写出相应x的值．

解：（1）由题意知，f（x）=2sinxcosx+sin²x-cos²x，
∴f（x）=sin2x-cos2x= $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 得， $\text{[math]}$
∴函数的递增区间为 $\text{[math]}$ （k∈Z）
（2）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$
∴函数的最大值为：1．此时2x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ ．
函数的最小值为：- $\text{[math]}$ ，此时x=- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用倍角公式对函数解析式进行化简，再由正弦函数的单调增区间，求出函数的递增区间；
（2）由 $\text{[math]}$ 求出 $\text{[math]}$ 的范围，进而求出正弦函数值的范围，再由解析式求出函数最值以及x的值．
点评：本题的考点是正弦函数的单调性和求定区间上的值域，需要对解析式进行适当的化简成正弦型的函数，再利用整体思想求解．

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（Ⅱ）已知s，t为正实数，求证：t^te^x≥s^te^t（其中e为自然对数的底数）；
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）+2m的图象与函数y=g（x²+1）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

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