Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，S₄=2S₂+4，bn=

1+an

an

．
（1）求公差d的值；
（2）若a1=-

5

2

，求数列{b_n}中的最大项和最小项的值；
（3）若对任意的n∈N^*，都有b_n≤b₈成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据 S₄=2S₂+4，可得 4a1+

3×4

2

d=2(2a1+d)+4，解得d的值．
（2）由条件先求得a_n的解析式，即可得到b_n的解析式bn=1+

1

an

=1+

1

n- 7 2

，由函数f(x)=1+

1

x- 7 2

在(-∞，

7

2

)和(

7

2

，+∞)上分别是单调减函数，可得b₃＜b₂＜b₁＜1，当n≥4时，1＜b_n≤b₄，故数列{b_n}中的
最大项是b₄=3，最小项是b₃=-1．
（3）由 bn=1+

1

n+a1-1

，函数f(x)=1+

1

x+a1-1

在（-∞，1-a₁）和（1-a₁，+∞）上分别是单调减函数，x＜1-a₁ 时，y＜1； x＞1-a₁时，y＞1，再根据b_n≤b₈，可得 7＜1-a₁＜8，从而得到a₁的取值范围．

解答：解：（1）∵S₄=2S₂+4，∴4a1+

3×4

2

d=2(2a1+d)+4，解得d=1，
（2）∵a1=-

5

2

，∴数列a_n的通项公式为 an=a1+(n-1)=n-

7

2

，∴bn=1+

1

an

=1+

1

n- 7 2

，
∵函数f(x)=1+

1

x- 7 2

在(-∞，

7

2

)和(

7

2

，+∞)上分别是单调减函数，
∴b₃＜b₂＜b₁＜1，当n≥4时，1＜b_n≤b₄，∴数列{b_n}中的最大项是b₄=3，最小项是b₃=-1．
（3）由bn=1+

1

an

 得  bn=1+

1

n+a1-1

，
又函数f(x)=1+

1

x+a1-1

在（-∞，1-a₁）和（1-a₁，+∞）上分别是单调减函数，
且x＜1-a₁ 时，y＜1；x＞1-a₁时，y＞1．
∵对任意的n∈N^*，都有b_n≤b₈，∴7＜1-a₁＜8，∴-7＜a₁＜-6，∴a₁的取值范围是（-7，-6）．

点评：本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，数列的函数特性，以及数列的单调性的应用，得到
7＜1-a₁＜8，是解题的难点．