Question

已知等差数列{a_n}满足：a₁=8，a₅=0．数列{b_n}的前n项和为Sn=2n-1-

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2

(n∈N*)
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令cn=2an，试问：是否存在正整数n，使不等式b_nc_n+1＞b_n+c_n成立？若存在，求出相应n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）∵已知{a_n}为等差数列且a₁=8，a₅=0．故求{a_n}的通项公式可使用构造方程法，求出公差d及首项即可，而数列{b_n}，已知其前n项和为Sn=2n-1-

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2

(n∈N*)，故{b_n}的通项公式可用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

来解答．
（2）由（1）的结论，我们可以先写出c_n的通项公式，再结合数列的单调性从n=1开始对b_nc_n+1＞b_n+c_n进行分类讨论，即可得到答案．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，由a₅=a₁+4d₁，得d₁=-2，
得a_n=-2n+10．
由数列{b_n}的前n和为Sn=2n-1-

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2

(n∈N*)
可知，当n=1时，b1=S1=

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2

，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2^n-2，b_n=2^n-2当n=1时，得b1=

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2

，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=-2n+10，
{b_n}的通项公式为b_n=2^n-2．
（2）假设存在正整数n使不等式b_nc_n+1＞b_n+c_n成立，
即要满足（c_n-1）（b_n-1）＞0，
由cn=2an=210-2n=45-n，b_n=2^n-2，
所以数列{c_n}单调减，数列{b_n}单调增，
①当正整数n=1，2时，2^n-2-1≤0，
所以b_nc_n+1＞b_n+c_n不成立；
②当正整数n=3，4时，c_n-1＞0，b_n-1＞0，
所以b_nc_n+1＞b_n+c_n成立；
③当正整数n≥5时，c_n-1≤0，b_n-1＞0，
所以b_nc_n+1＞b_n+c_n不成立．
综上所述，存在正整数n=3，4时，
使不等式b_nc_n+1＞b_n+c_n成立．

点评：数列的通项a_n与前n项和S_n的关系是an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

．已知a_n求S_n时方法千差万别，但已知S_n求a_n时方法却是高度统一．当n≥2时求出a_n也适合n=1时的情形，可直接写成a_n=S_n-S_n-1，否则分段表示．