题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，S_n-S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2）．
（1）数列{ $数学公式$ }是否为等差数列？请证明你的结论；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

解：（1）∵S_n-S_n-1=2S_nS_n-1∴ $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ （常数）
∴ $\text{[math]}$ 为等差数列
（2）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）将已知等式S_n-S_n-1=2S_nS_n-1的两边同除以S_nS_n-1，利用等差数列的定义证得 $\text{[math]}$ 为等差数列．
（2）利用等差数列的通项公式求出 $\text{[math]}$ ，再将它取倒数即得到数列{a_n}的前n项和S_n．
点评：求数列的前n项和，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法：常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组法．