Question

已知椭圆，过左焦点F₁倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点．求弦AB的长    ．

Answer 1

【答案】分析：求出椭圆的左焦点F₁（-2，0），根据点斜率式方程设AB：y=（x+2），与椭圆方程消去y得4x²+12+15=0，利用根与系数的关系算出A、B的横坐标满足|x₁-x₂|=，最后根据弦长公式即可算出弦AB的长．
解答：解：∵椭圆方程为，
∴焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），
∵直线AB过左焦点F₁倾斜角为
∴直线AB的方程为y=（x+2），
将AB方程与椭圆方程消去y，得4x²+12+15=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得
x₁+x₂=-3，x₁x₂=
∴|x₁-x₂|==
因此，|AB|=•|x₁-x₂|==2
故答案为：2
点评：本题给出椭圆经过左焦点且倾角为30度的弦AB，求弦长．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．