题目内容
在数列
中，
，且
.
(Ⅰ) 求
，猜想
的表达式，并加以证明；
(Ⅱ)设
，求证：对任意的自然数
都有
.
【答案】
(Ⅰ) 
，
(Ⅱ)
所以
所以只需要证明
（显然成立），所以命题得证
【解析】
试题分析：(Ⅰ)容易求得：.
1分
故可以猜想.下面利用数学归纳法加以证明：
显然当
时，结论成立. 2分
假设当
；
时（也可以
），结论也成立，即
,
.
3分
那么当
时，由题设与归纳假设可知：
4分
即当时，结论也成立，综上，对
,
成立.
6分
(Ⅱ)
， 8分
所以
.
10分
所以只需要证明
（显然成立）
所以对任意的自然数
，都有
.
12分
考点：数学归纳法及数列求和
点评：数学归纳法用来证明与正整数有关的题目，证明步骤：1，证明当
时命题成立。2，假设当
时命题成立，借此证明当
是命题成立，综上1，2得证；数列求和常用的方法有分组求和裂项相消求和错位相减求和等
练习册系列答案
相关题目
中，
，且满足
.
及数列
求数列
的前
项和
.
中，
，且对任意
都有
成立，令
（1）求数列
的通项公式；（2）求数列
的前n项和
。
中，
，且当
时有
，则数列
中，
，且对于任意正整数n，都有
，则
＝ 。
中，
，且对任意
.
，
，
成等差数列，其公差为
。
，证明
成等比数列（
。