Question

过点M（-2，0）做直线l交双曲线x²-y²=1于A、B两点，若O为坐标原点，是否存在∠AOB=90°的直线l，若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：当过M（-2，0）的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-2，和双曲线方程联立求出两个交点的坐标，经验证不合题意，当直线l的斜率存在时，和双曲线方程联立后利用根与系数关系点得到两个交点的横坐标的和与积，由∠AOB=90°得到x₁x₂+y₁y₂=0，进一步得到（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0，把两根的和与积代入后整理得到矛盾的式子，从而得到结论．

解答：解：当过M（-2，0）的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-2，
把x=-2代入双曲线x²-y²=1得，A（-2，

3

），B（-2，-

3

）．
此时不满足∠AOB=90°，
当过M（-2，0）的直线l的斜率存在时，设斜率为k（k≠0），
则直线l的方程为y=k（x+2），代入x²-y²=1得，
（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

4k2

1-k2

，x1x2=-

4k2+1

1-k2

，若∠AOB=90°，
则x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1+2)(x2+2)
=(k2+1)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2=0．
即-

(k2+1)(4k2+1)

1-k2

+2k2

4k2

1-k2

+4k2=0．
整理得，9k²+1=0．此式显然不成立．
所以，不存在使∠AOB=90°的直线l．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题，常用“设而不求的”解题方法，即利用一元二次方程的根与系数关系求得直线与圆锥曲线的两个交点的横坐标的和与积，此题考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．