Question

已知数列{c_n}的前n项的和S_n满足：S_n=

n2+n

2

．
（Ⅰ）求数列{c_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=log₂（a_n-1）．证明：

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＜1．

Answer 1

分析：（I）先求出首项c₁，然后当n≥2时，c_n=S_n-S_n-1，从而求出数列{c_n}的通项公式；
（II）由（I）知log₂（a_n-1）=n，从而求出数列{a_n}的通项公式，则

1

an+1-an

=

1

2n

，然后利用等比数列求和公式进行求和，从而得到结论．

解答：解：（I）因为数列{c_n}的前n项和S_n=

n2+n

2

，
所以c₁=1，
当n≥2时，c_n=S_n-S_n-1=n，当n=1时也适合，
所以，c_n=n．
（II）由（I）知log₂（a_n-1）=n，
∴a_n=2ⁿ+1，
∴

1

an+1-an

=

1

2n

∴左边=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1=右边
∴不等式成立…（14分）

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及等比数列的求和公式，同时考查了不等式的证明，属于中档题．