Question

【题目】已知椭圆的方程为 （ ）的离心率为 ，圆的方程为 ，若椭圆与圆 相交于 ， 两点，且线段 恰好为圆 的直径.

（1）求直线 的方程；

（2）求椭圆 的标准方程.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析：(1) 由椭圆的离心率为 ，可设椭圆 的方程为 ，设 ， ，由线段 恰好为圆 的直径可得 ， ，由于 ， ，两式相减，并整理得 ，∴，根据点斜式可求得直线 的方程；（2）由（1）知 ，代入并整理得， ，根据弦长公式列方程可得，从而得，进而可得椭圆 的标准方程.

试题解析：（1）由 得，

∴ ，即 ，∴椭圆 的方程为 ，

设 ， ，∵线段 恰好为圆 的直径，

∴线段 的中点恰好为圆心 ，于是有 ， ，

由于 ， ，两式相减，并整理得，

有 ，∴

∴直线 的方程为 ，即 。

（2）解：由（1）知 ，代入并整理得，

，

∵椭圆 与圆 相交于 ， 两点，

∴ ,解得 ，

于是 ，

依题意， ，

而

∴

解得 ，满足

∴

∴所求椭圆 的标准方程 .

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和“点差法”的应用，属于难题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.