Question

函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）试判断f（x）在（-1，1）的单调性，并予以证明；
（3）若f（t-1）+f（t）＜0，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，f（-x）=-f（x），代入可求b，然后由f(

1

2

)=

2

5

可求a，进而可求函数解析式
（2）对函数求导可得，f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

，结合已知x的范围判断导函数的正负即可判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性
（3）由已知可得f（t-1）＜-f（t）=f（-t），结合函数在（-1，1）上单调递增可求t的范围

解答：（1）解：∵函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
即

-ax+b

1+(-x)2

=-

ax+b

1+x2

∴-ax+b=-ax-b
∴b=0
∵f(

1

2

)=

2

5

∴

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

∴a=1
∴f(x)=

x

1+x2

（2）证明：∵f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

∵-1＜x＜1时，

1-x2

(1+x2)2

＞0
∴f（x）在（-1，1）上是增函数
（没有学习导数的也可利用函数的单调性的定义）
（3）解：∵f（t-1）+f（t）＜0，且函数为奇函数
∴f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
由（2）知函数在（-1，1）上单调递增
∴-1＜t-1＜-t＜1
∴0＜t＜

1

2

点评：本题主要考查了奇函数的定义的应用及待定系数求解函数的解析式，及函数的单调性在不等式的求解中的应用