Question

已知a＞0且a≠1，数列｛a_n｝是首项为a，公比也为a的等比数列，设b_n=a_nlga_n，问是否存在a，对任意自然数n,数列｛b_n｝中的每一项总小于它后面的所有的项?若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：对任意自然数n，要使｛b_n｝中的每一项总小于它后面所有的项的充要条件是b_n＜b_n+1对一切n∈N均成立.

    由已知a_n=aⁿ，b_n=a_nlga_n=aⁿlgaⁿ=naⁿlga，b_n+1=(n+1)·aⁿ⁺¹lga，则

b_n+1-b_n=［(n+1)a-n］·aⁿlga.

①当a＞1时，lga＞0，aⁿ＞0，(n+1)a-n＞(n+1)-n＞0,∴当a＞1时，b_n＜b_n+1对一切n∈N成立；

②当0＜a＜1时，lga＜0，b_n+1-b_n＞0对一切n∈N

    成立，当且仅当(n+1)a-n＜0对一切n∈N成立，即a＜(n∈N)，而≥，故只要a＜即可.

    综上所述，存在实数a∈(0,)∪(1，+∞)，使｛b_n｝中的任一项都小于它后面的所有项.