Question

已知函数f（x）=|x²-2mx+n|（x∈R），则（　　）

• A、f（x）必是偶函数
• B、f（x）的最小值为|m²-n|
• C、当f（0）=f（2）时，f（x）的图象关于直线x=1对称
• D、若m²-n≤0，则f（x）在区间[m，+∞）上是增函数

Answer 1

分析：分别讨论参数m，n的取值情况，结合二次函数的图象和性质进行判断即可．
A．利用奇偶性的定义可以判断，当m≠0时，f（x）必非奇非偶函数．
B．当m²-n≤0时，二次函数开口向上有最小值．
C．由f（0）=f（2）得到m，n的关系，然后根据m，n的关系通过配方得到对称轴．
D．当m²-n≤0时，此时x²-2mx+n=（x-m）²+n-m²≥0，此时可以去掉绝对值，利用二次函数的性质判断．

解答：解：A．∵f（x）=|x²-2mx+n|，∴f（-x）=|x²+2mx+n|，当m≠0时，f（-x）≠f（x），∴A错误．
B．∵f（x）=|x²-2mx+n|=|（x-m）²+n-m²|，∴当n-m²＜0时，函数f（x）的最小值为0，∴B错误．
C．当f（0）=f（2）时，f（0）=|n|=|4-4m+n|，即n=4-4m+n或n=-4+4m-n，∴m=1或n=2m-2，
当m=1时，f（x）的对称轴为x=1．
当n=2m-2时，f（x）=|x²-2mx+2m-2|=|（x-m）²-2-m²|，此时对称轴为x=a，∴C错误
D．若m²-n≤0，则f（x）=|x²-2mx+n|=|（x-m）²+n-m²|=（x-m）²+n-m²，∴此时函数区间[m，+∞）上是增函数，∴D正确．
故选：D．

点评：本题主要考查函数的图象和性质，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．考查学生的综合应用．