Question

已知函数f(x)=2sin2(

π

4

+ωx)-

3

cos2ωx-1(ω＞0)的最小正周期为

2π

3

（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

6

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式降次升角，通过两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，根据周期公式求ω；
（II）结合x 的范围求出表达式相位的范围，确定表达式的范围，求出最值，利用不等式恒成立确定m 的范围即可．

解答：解：（Ⅰ） f(x)=2sin2(

π

4

+ωx)-

3

cos2ωx-1=
-cos(

π

2

+2ωx)-

3

cos2ωx
=sin2ωx-

3

cos2ωx=2sin(2ωx-

π

3

)(ω＞0)2分
f（x） 的最小正周期为

2π

3

，∴

2π

2ω

=

2π

3

，∴ω=

3

2

…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=2sin(3x-

π

3

)，5分
当 x∈[

π

6

，

π

2

] 时，有3x-

π

3

∈[

π

6

，

7π

6

]，则f(x)∈[-1，2]…7分
∴若不等式|f（x）-m|＜2 在x∈[

π

6

，

π

2

] 上恒成立，
则有-2＜f（x）-m＜2，即f（x）-2＜m＜f（x）+2
在x∈[

π

6

，

π

2

] 上恒成立，…9分
∴（f（x）-2）_max＜m＜（f（x）+2）_min，
f（x）_max-2＜m＜f（x）_min+2…11分
∴0＜m＜1…12分

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，周期的求法，函数的闭区间上的最值问题，考查发现问题解决问题的能力，考查计算能力，常考题型．