Question

（本题满分10分）如图，已知四棱锥底面为菱形，平面，，分别是、的中点.

(1)证明：

 (2)设， 若为线段上的动点，与平面所成的最大角的正切值为

，求此时异面直线AE和CH所成的角.

 

Answer 1

【答案】

．（1）证明：见解析；（2）异面直线所成角30⁰

【解析】

试题分析：（I）根据题意可得：△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，又因为BC∥AD，所以AE⊥AD．又PA⊥AE，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，进而可得答案；

（Ⅱ）先根据条件由（1）知AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角. 在Rt△EAH中，AE=，所以  当AH最短时，∠EHA最大进而得到异面直线的所成的角。

（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，

可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，

所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD. 

因为PA⊥平面ABCD，

AE平面ABCD，所以PA⊥AE.而 PA平面PAD，

AD平面PAD 且PA∩AD=A，所以 AE⊥平面PAD，

又PD平面PAD.所以 AE⊥PD.

（2）解：设AB=2，H为PD上任意一点，

连接AH，EH.  由（1）知AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，所以  当AH最短时，∠EHA最大，

即当AH⊥PD时，∠EHA最大.此时tan∠EHA=

因此AH=.又AD=2，所以∠ADH=45所以 PA=2.

异面直线所成角30⁰

考点：本题主要是考查线面垂直的证明以及异面直线所成的角的求解。

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便利用已知条件得到空间的线面关系，并且便于建立坐标系利用向量的有关运算解决空间角等问题