Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；        
（2）判断函数的单调性并证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）为R上的奇函数得f（0）=0，f（-1）=-f（1），解出方程可得a，b值；
（2）由（1）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，利用单调性定义可作出判断；
（3）由f（x）的奇偶性可得，f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），根据单调性可去掉符号“f”，转化为函数最值解决即可；

解答：解：（1）因为f（x）为R上的奇函数，
所以f（0）=0，即

-1+b

2+a

=0，解得b=1，
由f（-1）=-f（1），得

-2-1+1

20+a

=-

-2+1

22+a

，解得a=2，
所以a=2，b=1；
（2）f（x）为R上的奇函数，证明如下：
由（1）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（-

1

2

+

1

2x1+1

）-（-

1

2

+

1

2x2+1

）=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
因为x₁＜x₂，所以2x2-2x1＞0，2x1+1＞0，2x1+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）为减函数；
（3）因为f（x）为奇函数，所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可化为f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
又由（2）知f（x）为减函数，所以t²-2t＞k-2t²，即3t²-2t＞k恒成立，
而3t²-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

≥-

1

3

，
所以k＜-

1

3

．

点评：本题考查函数单调性的判断及其应用，考查函数恒成立问题，考查学生解决问题的能力．