Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

解  （Ⅰ）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0
得2sinAcosB+sin（C+B）=0，
因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0，因为sinA≠0，
所以cosB=-

1

2

，又B为三角形的内角，所以B=

2π

3

．
（Ⅱ）因为S=

1

2

acsinB，由B=

2π

3

及a+c=4得S=

1

2

a(4-a)sin

2π

3

=

3

4

(4a-a2)=

3

4

[4-(a-2)2]，
又0＜a＜4，所以当a=2时，S取最大值

3

  …（3分）