Question

已知函数f（x）对定义域内任意x，y，有f(x+y)=

f(x)+f(y)

1-f(x)f(y)

且f（1）=1，则f（2011）=

-1

．

Answer 1

分析：函数f（x）对定义域内任意x，y，有f(x+y)=

f(x)+f(y)

1-f(x)f(y)

，令x=y=0，解得f（0）=0．令y=-x，解得函数f（x）是奇函数．由f(x+y)=

f(x)+f(y)

1-f(x)f(y)

，解得f（x）是以4为周期的周期函数，再由f（1）=1，能求出f（2011）．

解答：解：∵函数f（x）对定义域内任意x，y，有f(x+y)=

f(x)+f(y)

1-f(x)f(y)

，
∴令x=y=0，得f（0）=

2f(0)

1-[f(0)]2

，解得f（0）=0．
令y=-x，得f（0）=

f(x)+f(-x)

1-f(x)f(-x)

=0，
∴f（-x）=-f（x），即函数f（x）是奇函数．
∵f(x+y)=

f(x)+f(y)

1-f(x)f(y)

，
∴f（x+1）=

1+f(x)

1-f(x)

，
∴f（x+2）=

1+f(x+1)

1-f(x+1)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
∴f（x+4）=-

1

f(x+2)

=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数，
∵f（1）=1，
∴f（2011）=f（503×4-1）=f（-1）=-f（1）=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、周期性的求法的灵活运用．