题目内容

已知函数f（x）=e^x，g（x）=ln $数学公式$ + $数学公式$ ，对任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f（a）=g（b），则b-a的最小值为

A.
2 $数学公式$ -1
B.
e²- $数学公式$
C.
2-ln2
D.
2+ln2

D
分析：令 y=e^a，则 a=lny，令y=ln $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，可得 b=2 $\text{[math]}$ ，利用导数求得b-a取得最小值．
解答：令 y=e^a，则 a=lny，令y=ln $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，可得 b=2 $\text{[math]}$ ，
则b-a=2 $\text{[math]}$ -lny，∴（b-a）′=2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
显然，（b-a）′是增函数，观察可得当y= $\text{[math]}$ 时，（b-a）′=0，故（b-a）′有唯一零点．
故当y= $\text{[math]}$ 时，b-a取得最小值为2 $\text{[math]}$ -lny=2 $\text{[math]}$ -ln $\text{[math]}$ =2+ln2，
故选D．
点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，利用导数求函数的最小值，属于中档题．此题中导数零点不易用常规方法解出，解答时要会用代入特值的方法进行验证求零点