题目内容
如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，边长是a，PD=a，PA=PC=
，
（1）证明：PD⊥平面ABCD；
（2）求点A到平面PBD的距离；
（3）求二面角A﹣PB﹣D的大小．
，（1）证明：PD⊥平面ABCD；
（2）求点A到平面PBD的距离；
（3）求二面角A﹣PB﹣D的大小．
（1）证明：∵底面ABCD为正方形，边长是a，PD=a，PA=PC= ，
∴PA2=PD2+DA2，PC2=PD2+DC2，
∴PA⊥DA，PA⊥DC
∵DA∩DC=D
∴PD⊥平面ABCD
（2）解：设AC∩BD=O，在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴PD⊥AC
∵BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD
∴线段AO的长即为点A到平面PBD的距离
∴
∴点A到平面PBD的距离为
（3）解：过点O作OE⊥PB于点E，连接AE
∵AO⊥平面PBD，∴由三垂线定理得AE⊥PB
∴∠AEO是二面角A﹣PB﹣D的平面角
∵PD⊥平面ABCD，∴AD⊥AB，由三垂线定理得PA⊥AB
在Rt△PAB中，
，∴ 
∴在Rt△AEO中，sin∠AEO=
∴二面角A﹣PB﹣D的大小为60°
∴PA2=PD2+DA2，PC2=PD2+DC2，
∴PA⊥DA，PA⊥DC
∵DA∩DC=D
∴PD⊥平面ABCD
（2）解：设AC∩BD=O，在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴PD⊥AC
∵BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD
∴线段AO的长即为点A到平面PBD的距离
∴
∴点A到平面PBD的距离为
（3）解：过点O作OE⊥PB于点E，连接AE
∵AO⊥平面PBD，∴由三垂线定理得AE⊥PB
∴∠AEO是二面角A﹣PB﹣D的平面角
∵PD⊥平面ABCD，∴AD⊥AB，由三垂线定理得PA⊥AB
在Rt△PAB中，
，∴ ∴在Rt△AEO中，sin∠AEO=
∴二面角A﹣PB﹣D的大小为60°
练习册系列答案
千里马走向假期期末仿真试卷寒假系列答案
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