Question

定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立．

　　（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；

　　（2）证明f（x）为减函数；若函数f（x）在〔－3，3）上总有f（x）≤6成立，试确定f（1）应满足的条件；

　　（3）解关于x的不等式，（n是一个给定的自然数，a＜0．)

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）由已知对于任意，，恒成立 令，得，∴     令，得 　　∴  对于任意，都有．  ∴  是奇函数． 　　（2）设任意，且，则，由已知  ① 　　又  ② 　　由①，②得，根据函数单调性的定义知在，上是减函数． ∴  在，上的最大值为． 要使恒成立，当且仅当， 又∵ ， ∴  ． 　　（3） 　　由已知得：  ∴  　　∵  在，上是减函数  ∴  ． 　　即，∵  ，∴  ，讨论： 　　①当，即时，原不等式解集为； 　　②当即时，原不等式的解集为 　　③当时，即时，原不等式的解集为