Question

数列{a_n}、{b_n}满足a₃=b₃=6，a₄=b₄=4，a₅=b₅=3，且{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差数列，{b_n-2}（n∈N^*）是等比数列．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）n取何值时，a_n-b_n取到最小正值？试证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用已知，可求出{a_n+1-a_n}的第三项与公差，{b_n-2}的第三项与公比，代入等差和等比数列的通项公式，即可求出a_n+1-a_n与b_n-2的表达式，再利用叠加法转化为等差数列求和，从而求出a_n与b_n；
（2）利用数学归纳法或函数单调性求a_n的最小值．

解答：解：（I）设c_n=a_n+1-a_n，数列{a_n+1-a_n}的公差为d，
则c₃=a₄-a₃=-2，c₄=a₅-a₄=-1，
∴d=c₄-c₃=1，
∴c_n=c₃+（n-3）=n-5，
∴a_n+1-a_n=n-5
∴（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₅-a₄）+（a₄-a₃）=（n-6）+（n-7）+…+（-1）+（-2），
∴an-a3=

(n-3)(n-8)

2

，
∴an=

1

2

n2-

11

2

n+18(n∈N*)；（4分）
设d_n=b_n-2，数列{b_n-2}的公比是q，则d₃=b₃-2=4，d₄=b₄-2=2，
∴q=

d4

d3

=

1

2

，
∴dn=d3qn-3=4•(

1

2

)n-3=25-n，
∴b_n=2+2^5-n（n∈N^*）（7分）．
（II）a₁-b₁=-5，a₂-b₂=-1，a₃-b₃=a₄-b₄=a₅-b₅=0，
a6-b6=

1

2

，a7-b7=

7

4

＞

1

2

，
猜想：n=6时，a₆-b₆取到最小正值．（9分）
下面用数学归纳法给以证明：
（1）当n=7时，a7-b7=

7

4

＞

1

2

；
（2）假设n=k（k≥7，k∈N^*）时，ak-bk＞

1

2

，
当n=k+1时，ak+1=

1

2

(k+1)2-

11

2

(k+1)+18=(

1

2

k2-

11

2

k+18)+k-5
=ak+k-5＞bk+

1

2

+k-5＞bk+1+

1

2

+k-5，
又∵k≥7，∴ak+1＞bK+1+

1

2

，
即ak+1-bK+1＞

1

2

，
∴n=k+1时，猜想成立．
由（1）、（2）知，对任意不少于7的正整数n，均有an-bn＞

1

2

．
综上所述，n=6时，a₆-b₆取到最小正值．（14分）
（用函数单调性证明相应给分）

点评：本题主要考查了函数，等差和等比数列的通项公式等知识，同时考查了分析，推理的能力及运算能力，解题过程中充分运用了叠加法，数学归纳法．