Question

已知函数f(x)＝e^ax－x，其中a≠0．

(1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合．

(2)在函数f(x)的图像上取定两点A(x₁，f(x₁))，B(x₂，f(x₂))(x₁＜x₂)，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x₀∈(x₁，x₂)，使＞k成立？若存在，求x₀的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)若，则对一切，，这与题设矛盾，又，

　　故．

　　而令

　　当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值

　　于是对一切恒成立，当且仅当

　　．①

　　令则

　　当时，单调递增；当时，单调递减．

　　故当时，取最大值．因此，当且仅当即时，①式成立．

　　综上所述，的取值集合为．

　　(Ⅱ)由题意知，

　　令则

　　

　　

　　令，则．

　　当时，单调递减；当时，单调递增．

　　故当，即

　　从而，又

　　所以

　　因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且．故当且仅当时，．

　　综上所述，存在使成立．且的取值范围为

　　．

提示：

本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法．第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x)1恒成立转化为，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断．