Question

【题目】定义在上的函数满足，．

(1)求函数的单调区间；

(2)如果，且，求证：．

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为．； （2）见解析.

【解析】

（1）对求导得，可得，再在f（x）中令x＝0得f（0），从而得f（x）＝e2x+x2﹣2x，可得，通过研究其导函数得到的单调区间；

（2）先由（1）得单调递增且不妨设，分析，得x1、x2满足，要证，即证，由单调递增，故只需证明，构造函数再结合单调性即可证明结论．

(1) 由，得

令，得，故．

又，则，故，

于是

；

当时，，递减；当时，，递增；

故，故在上单调递增，

所以的单调递增区间为．

(2) 注意到，由得

由单调递增，不妨设，则，下面用分析法，

要证，即证，由单调递增，故只需证明，

而，故只需证，即证

设，

则，

令

则，∴单增，

又∴, 即，

∴在上单调递增，故．