Question

设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2010且对任意x∈R，有f（x+2）-f（x）≤3.2^x，f（x+6）-f（x）≥3.2^x，则f（2010）=（　　）

A．2²⁰⁰⁸+2007

B．2²⁰⁰⁹+2008

C．2²⁰¹⁰+2009

D．2²⁰¹¹+2010

Answer 1

分析：先根据f（x+2）-f（x）≤3×2^x，f（x+6）-f（x）≥63×2^x求得f（x+6）-f（x）=63•2^x，然后利用叠加法与等比数列求和公式求出f（2010）的值即可．

解答：解：∵f（x+2）-f（x）≤3•2^x
∴f（x+4）-f（x+2）≤3•2^x+2=12•2^x
f（x+6）-f（x+4）≤3•2^x+4=48•2^x
∴以上三式相加：f（x+6）-f（x）≤63•2^x
又∵f（x+6）-f（x）≥63•2^x
∴f（x+6）-f（x）=63•2^x
∴f（6）-f（0）=63•2⁰
f（12）-f（6）=63•2⁶
f（18）-f（12）=63•2^12
…
f（2010）-f（2004）=63•2²⁰⁰⁴
∴上式相加得：f（2010）-f（0）=63•2⁰+63•2⁶+63•2¹²+…+63•2²⁰⁰⁴
=63•（2⁰+2⁶+2¹²+…+2²⁰⁰⁴）
=63•

1-22004•26

1-26

=2²⁰¹⁰-1
∴f（2010）=f（0）+2²⁰¹⁰-1=2010+2²⁰¹⁰-1=2²⁰¹⁰+2009．
故选C．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及利用夹逼关系求出递推关系和等比数列求和，同时考查了叠加法，属于中档题．