Question

已知函数f(x)=2cosx·sin(x+)- sin²x+sinx·cosx．

(1)求函数f(x)的单调递减区间；

(2)将函数f(x)的图像按向量a=(m，o)平移，使函数f(x)为偶函数，求m的最小正值．

Answer 1

解：f(x)=2cosx·sin(x+)-sin²x+sinx·cosx

=2cosx(sinxcos+cosxsin)-sin²x+sinxcosx

=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)

(1)令+2kπ≤2x+≤+2kπ，

解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z

∴函数f(x)的单调递减区间是[+kπ, +kπ](k∈Z)．

(2)∵函数f(x)的图像按向量a=(m，0)平移后的解析式为：

g(x)=2sin[2(x-m)+ ]=2sin(2x-2m+)

要使函数g(x)为偶函数，则-2m+=kπ+(k∈Z)

又∵m＞0，∴k=-1时，m取得最小正值．