Question

已知圆锥的高为1，轴截面顶角为120°时，过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为（　　）

• A．

  3

• B．2

  3

• C．2
• D．1

Answer 1

分析：作出过圆锥顶点的截面，设出底面圆心到截面底边的距离x，把截面面积用x表示，然后利用基本不等式求其最值．

解答：解：如图，过圆锥顶点P认作一截面PAB，交底面圆与AB，过O作AB的垂线OF，垂足为F，交底面圆周与E，
因为圆锥轴截面的顶角为120°，则∠OPE=60°，又圆锥PO的高PO=1，在直角三角形POE中，有OE=tan60°=

3

，
即圆锥底面半径为3，所以OA=OE=

3

，设OF=x，则AF=

( 3 )2-x2

=

3-x2

，
在直角三角形POF中，PF=

12+x2

=

1+x2

，
所以，S△PAB=

1

2

AB•PF=AF•PF=

3-x2

•

1+x2

≤

(3-x2)+(1+x2)

2

=2．
当且仅当3-x²=1+x²，即x=1时“=”成立．
所以，过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为2．
故选C．

点评：本题考查了棱锥的结构特征，考查了利用基本不等式求最值，学生解答此题时容易出错，往往不假思索的认为截面积最大的是轴截面，该题是否是轴截面面积最大取决于轴截面的顶角，此题是基础题．