题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知点 $数学公式$ ），P（cosα，sinα），其中 $数学公式$ ．
（1）若 $数学公式$ ，求证： $数学公式$ ；
（2）若 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的值．

解：（1）由题设知 $\text{[math]}$ =（-cosa，-sina）．
所以 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ cosa+1．
因为cosa= $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ =0．故 $\text{[math]}$ ．
（2）因为 $\text{[math]}$ |，所以 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ a．
解得cosa= $\text{[math]}$ ．
因为0＜a＜ $\text{[math]}$ ，所以sina= $\text{[math]}$ ．
因此sin2a=2sinacosa= $\text{[math]}$ ．
从而 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）用坐标分别表示出 $\text{[math]}$ =（-cosa，-sina），求出它们的数量积，利用 $\text{[math]}$ 可证．
（2）由 $\text{[math]}$ ，可求解得cosa，进而可求 sin2a，从而问题可解．
点评：本题以向量为载体，考查三角函数，考查数量积运算，考查和角的三角函数，有一定的综合性．

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