题目内容

已知 $数学公式$ =（3，2）， $数学公式$ =（-1，2）， $数学公式$ =（4，1）．
（Ⅰ）求满足 $数学公式$ =x $数学公式$ +y $数学公式$ 的实数x，y的值；
（Ⅱ）若（ $数学公式$ +k $数学公式$ ）⊥（2 $数学公式$ - $数学公式$ ），求实数k的值．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ =（3，2）， $\text{[math]}$ =（-1，2）， $\text{[math]}$ =（4，1），以及 $\text{[math]}$ =x $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ 可得
（3，3）=（-x，2x）+（4y，y）=（-x+4y，2x+y），
故有-x+4y=3，2x+y=3，
解得 x=1，y=1．
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ +k $\text{[math]}$ ）=（3+4k，2+k），2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（-5，2），且（ $\text{[math]}$ +k $\text{[math]}$ ）⊥（2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），
∴（ $\text{[math]}$ +k $\text{[math]}$ ）•（2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=（3+4k，2+k）•（-5，2）=-15-20k+4+2k=0，
k=- $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由题意可得（3，3）=（-x，2x）+（4y，y），故有-x+4y=3，2x+y=3，解得 x、y的值．
（Ⅱ）求出（ $\text{[math]}$ +k $\text{[math]}$ ）和（2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）的坐标，根据（ $\text{[math]}$ +k $\text{[math]}$ ）•（2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=0，解方程求得k 的值．
点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量数量积公式的应用，属于基础题